Pourquoi l’attracteur de Lorenz ressemble à un papillon

L’animation de la page d’accueil n’est pas un dessin de papillon. C’est le système de Lorenz, un jeu de trois équations différentielles ordinaires qu’Edward Lorenz a écrit en 1963 comme modèle minimal de la convection atmosphérique :

dx/dt = σ (y − x)
dy/dt = x (ρ − z) − y
dz/dt = x y − β z

Avec les paramètres classiques σ = 10, ρ = 28 et β = 8/3, toute trajectoire est attirée sur la même surface fine et repliée, et une fois là elle ne se stabilise jamais et ne se répète jamais. Cette surface est l’attracteur étrange, et vue sous le bon angle elle a deux ailes.

D’où viennent les ailes

Le système a trois points fixes. L’origine est un col : les trajectoires s’en approchent dans une direction et en sont éjectées dans une autre. Les deux autres, en x = y = ±√(β(ρ−1)) et z = ρ − 1, sont au centre de chaque aile. Pour ρ = 28, ce sont des spirales instables : une trajectoire tourne autour de l’un d’eux en s’éloignant lentement, jusqu’à franchir la surface qui sépare les deux bassins et passer à l’autre aile. Le nombre de tours avant de changer est, en pratique, imprévisible. Deux trajectoires parties à un millimètre l’une de l’autre seront sur des ailes différentes au bout d’une douzaine de tours.

Ce que fait l’animation

Quatre-vingts trajectoires sont intégrées dans le navigateur par un schéma de Runge–Kutta d’ordre quatre, chacune traînant une queue d’un millier de points. Toutes les quelques secondes, l’intégration se fige ; les points du lobe gauche sont appariés à des points échantillonnés sur une aile gauche, ceux du lobe droit à une aile droite, classés par leur angle autour du centre du lobe pour préserver le tourbillon, puis le nuage se relâche sur la surface des ailes. Un papillon solide apparaît, bat des ailes et se dissout dans l’attracteur d’où il vient.

La correspondance lobe → aile est tout l’intérêt. L’attracteur était déjà le papillon ; la métamorphose ne fait que rendre la ressemblance littérale un instant.