À quelle vitesse le papillon oublie

La note sur l’attracteur de Lorenz se termine sur deux trajectoires qui partent à un millimètre l’une de l’autre et finissent sur des ailes différentes. C’est l’image qualitative du chaos. L’image quantitative tient en un seul nombre : la vitesse à laquelle des trajectoires voisines s’écartent.

Pour de petits écarts, la croissance est en moyenne exponentielle,

δ(t) ≈ δ₀ · e^(λ t)

et le taux λ est le plus grand exposant de Lyapunov. Un λ positif est la définition opérationnelle du chaos. Une orbite périodique a λ = 0 ; un système qui converge vers un point fixe a λ < 0.

Le mesurer

La recette classique, due à Benettin et ses collaborateurs en 1980, est d’une simplicité presque gênante. On fait évoluer deux copies du système à une distance infime, on mesure de combien l’écart a grandi après un pas, on note le facteur de croissance, on ramène l’écart à sa taille initiale dans la même direction, et on recommence. La moyenne des logarithmes donne λ.

import math

def lorenz(x, y, z, s=10.0, r=28.0, b=8/3):
    return s*(y - x), x*(r - z) - y, x*y - b*z

def rk4(p, h):
    k1 = lorenz(*p)
    k2 = lorenz(*(p[i] + h/2*k1[i] for i in range(3)))
    k3 = lorenz(*(p[i] + h/2*k2[i] for i in range(3)))
    k4 = lorenz(*(p[i] + h*k3[i] for i in range(3)))
    return tuple(p[i] + h/6*(k1[i] + 2*k2[i] + 2*k3[i] + k4[i]) for i in range(3))

h, d0, steps = 0.01, 1e-8, 200_000
a = (1.0, 1.0, 1.0)
for _ in range(5000):                 # laisser s’éteindre le transitoire
    a = rk4(a, h)
b = (a[0] + d0, a[1], a[2])
total = 0.0
for _ in range(steps):
    a, b = rk4(a, h), rk4(b, h)
    d = math.dist(a, b)
    total += math.log(d / d0)
    b = tuple(a[i] + (b[i] - a[i]) * d0 / d for i in range(3))   # renormaliser

print(total / (steps * h))            # ≈ 0.906

Deux mille unités de temps d’intégration donnent λ ≈ 0,906, en accord avec la valeur de 0,9056 de la littérature. La renormalisation est l’astuce essentielle : sans elle, l’écart grandirait jusqu’à la taille de l’attracteur et saturerait, et le logarithme ne mesurerait plus rien.

Ce que dit ce nombre

Un taux de 0,906 signifie qu’une erreur double toutes les ln 2 / λ ≈ 0,77 unités de temps. Dans l’autre sens, il dit ce que vaut une meilleure mesure de l’état initial : chaque chiffre décimal de précision supplémentaire n’achète que ln 10 / λ ≈ 2,5 unités de temps de prévision. En partant d’une erreur de 10⁻¹⁰ et en jugeant la prévision inutile quand l’erreur atteint la taille de l’attracteur, environ 10, l’horizon est d’à peu près 28 unités de temps. Partir de 10⁻²⁰ ne le repousserait qu’à environ 53.

Ce logarithme est tout le message de Lorenz en 1963. La prévisibilité s’achète avec de la précision à un prix exponentiel, si bien que pour un système chaotique il existe un horizon qu’aucun progrès réaliste de la mesure ne repoussera beaucoup.

Le reste du spectre

Un système à trois dimensions possède trois exposants de Lyapunov, un par direction indépendante d’étirement ou de compression. Pour Lorenz, ils valent environ

λ₁ ≈ +0,906    λ₂ = 0    λ₃ ≈ −14,57

Le zéro correspond à la direction du flot : décaler un point le long de sa propre trajectoire ne fait ni croître ni décroître l’écart. Le troisième n’a même pas besoin d’un calcul séparé. Pour les équations de Lorenz, la divergence du champ de vecteurs est constante, −(σ + 1 + β) ≈ −13,67 : tout volume de l’espace des phases se contracte d’un facteur e^(−13,67) par unité de temps, et les trois exposants doivent avoir exactement cette somme.

Les trajectoires sont donc étirées dans une direction et écrasées bien plus fortement dans une autre. L’estimation de Kaplan–Yorke transforme le spectre en dimension, 2 + λ₁ / |λ₃| ≈ 2,06 : un peu plus qu’une surface. C’est pourquoi l’attracteur de l’animation ressemble à une fine feuille repliée dont les couches sont trop serrées pour être vues.

Une réserve sur les ordinateurs

Après une trentaine d’unités de temps, la trajectoire calculée n’a plus rien à voir avec la trajectoire exacte issue de la même condition initiale, car les erreurs d’arrondi sont amplifiées comme n’importe quelle autre erreur. L’exposant et la forme de l’attracteur restent pourtant robustes : ce sont des propriétés de l’ensemble, pas d’un chemin particulier. Savoir si l’attracteur étrange existe vraiment, et n’est pas un artefact de l’arithmétique finie, est resté ouvert pendant des décennies ; Warwick Tucker l’a tranché en 1999 par une preuve assistée par ordinateur, répondant au 14e des problèmes de Smale pour le siècle.